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2004/05/26(水)
マジメナヒ
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一日真面目にいろいろ片付けた。有意義だったけど日記に書くようなことがない。
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そうだ、この前某所で話題にしてみたあれを書こう。
正四面体の二頂点が重心を挟んで成す書くの余弦はいくらか？
という問題にどう答えるか。多くの人は正四面体が立方体にうまくはめ込めることを利用して四頂点を(1,1,1),(-1,-1,1),(1,-1,-1),(-1,1,-1)に置くなどして、
(1,1,1)・(-1,-1,1)/|(1,1,1)||(-1,-1,1)|
を計算するのではないか。ところでこの答えは-1/3である。ちなみに、線分、正三角形について同様の量を計算すると-1,-1/2であって明らかな規則性がある。この規則性の由来をきちんと明らかにするような計算はないのか。
ちょっと考えると問題は座標のおき方だと気づく。つまり立方体に正四面体がはまったのは三次元特有の性質で、正三角形は正方形にはまらないし、１次元では対応するものがそもそもない。線分、正三角形、正四面体を統一的に扱えるような座標のおき方が欲しいのである。
で、答えをいうと、線分なら二次元で(1,0),(0,1)とおき、正三角形なら(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)とおけばよい。
確かに四次元空間上で(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)が正四面体をなすなどというのはちょっとイメージしがたいが、それ以前に、四つの対称に置かれた点の座標のおき方としてこれは明らかに最も自然である。
高校の頃、大学入試問題でしばしば正四面体を扱う問題が出て、立方体にはめこんで解くというのが定石っぽくなっていたのだけど、こんな比較的トリッキーな座標のおき方を知っていて、この明らかに自然なおき方を知らないというのはどう考えても歪だ。一発ネタはよくないよ、うん。
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