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2004/02/12(木)
グチグチ
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う〜ん。線形代数の試験で、よっしゃー全部できたー、とか思って出てきたのだが、一問雲行きが思わしくない。それは
(aa ab ac)
(ba bb bc)
(ca cb cc)
っちゅー行列の固有値の、正の物の数と負の物の数と零の物の数を決定せよ、という問題(縮退があっても、固有空間の次数で数えるということ)。
いや、対称行列だから、固有値三つが必ずあって、正負零のどの組み合わせもあるだろう、と簡単に考えてそう書いたのだが、よく考えたら対称行列の自由度は6に対してパラメタは三つしかないんだからそんなわけない。
で、帰りにkumaと話したら、彼はがりがり計算して固有値を出したがそんなに難しくなかったと。ただその結果は全て零というあからさまに違う結果で、反例(a=1,b=0,c=0)をあげたところ、その場で彼が計算しなおして、t^2(a^2+b^2+c^2-t)=0という結果になった。
そうか、まるで固有値が直接求まらないかのような書き方に見えるけど、三次式になるだけだからとりあえず試すくらいするべきだったな、最悪でも微分して増減を見てパラメタを変化させて零点の数を議論するっていう面倒だけど定石があるわけだし。
などと考えつつ、しかし結果が簡単なのでもう少し簡単に求まるだろう、と沈思黙考すること数分、ありゃ、この行列、rankが0じゃん。というか、全ての行、全ての列が(a,b,c)に平行じゃん。だから、ベクトルに作用させた結果も(a,b,c)に平行なわけだ。固有値は0が二つと、(a,b,c)方向に何倍されるか、というので全部で三つになる。。。
んでさらに沈思黙考すること数分。あれ、これってただの射影行列じゃん。量子論で|φ><φ|がφ方向への射影ってのやったぞ。ていうか、Σ_j ai bj xjを<b,x>aってまとめるの、電磁気でさんざんやったぞ。
。。。何ていうか、有機的な知識の統合って重要ですね。せっかく豊富な選択授業を用意してもらっていて、豊かなバックグラウンドを持てるようにしてもらっているのに、全然身になっていない。。。
一番下のなら一瞬。そうでなくても下から二番目くらいは気づくべきで。そしてそれにも気づかなくても、手間はかかっても機械的に解ける方法が存在するという問題をあっさり落としました。うがー。
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構造化学はなんと言うか、一夜漬けが報われる出題だった。いやーゲラーデ、ウンゲラーデの読みが書けた人はそうはいないだろう、わっはっは。
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振動波動の過去問はなかなか楽しかった。線形近似のなんたるかが端的にわかる問題だと思う。と、偉そうに言っているが、その場でいきなりこれを見せられて、さー解けと言われたらたまったものじゃないだろう。んで、明日試験を受けなければいけないわけだ。死にそう。
http://user.ecc.u-tokyo.ac.jp/~mm26024/kakomon/97w-shindouhadou-ikegami.html
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