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2004/10/28(木)
オイオイ
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曲線f(x,y)=0上に束縛された粒子の運動はL=m/2(x'^2+y'^2)-U(x,y)としてラグランジュの未定乗数法を用いれば
d/dt ∂L/∂x'-∂L/∂x+λ∂f/∂x=0
d/dt ∂L/∂y'-∂L/∂y+λ∂f/∂y=0
これらは具体的に
mx''+∂U/∂x+λ∂f/∂x=0
my''+∂U/∂y+λ∂f/∂y=0
結局位置ベクトルをrとして
mr''=-∇U-λ∇f…(1)
∇f・dr=dfだから∇fはf一定曲線に直交する。このこともそうだし、そもそも(1)の形から-λ∇fは明らかに束縛力を表す。
さて、
1.束縛曲線として角丸長方形を選ぶと、直線部分では束縛力は0。角の部分では束縛力は有限。この事から明らかなようにλは定数ではない。
2.x^2+y^2=l^2なる単振り子について立式するとx方向が
mx''=2λx
となりλが定数なら、x方向の運動が三角関数で書けてしまう。しかし一般に単振り子の運動の厳密解は初等関数で欠けず楕円関数が必要。また、1.との関連で言えばエネルギーの保存から速さを求めて円運動に必要な向心力mv^2/rを求めて重力の向心成分を加味して束縛力を決めた結果とも一致しない。
3.そもそも普通の極値問題の場合のラグランジュの未定乗数法の議論を丁寧になぞって変分法に適用すると明らかにラムダは解曲線上で定数ではない。
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物理数学One Point 4に具体的な説明はないが、ここまで書いてあ
れば嘘ではないだろうという記述が。
・束縛条件が
G(x,y,t)=0
という形で与えられている場合λはλ(t)
・束縛条件が
∫G(x,y,x',y',t)dt=K
という形で与えられている場合はλは定数
詳しい説明は書いていないけど、普通の極値問題に対する未定乗数法とのアナロジーで「束縛条件の数」を意識して考えれば十分自然だ。
「量子力学を学ぶための解析力学入門」での等周問題の例題はこの二番目のケースなので間違ってはいない。一方、授業で扱った単振り子は一番目のケースなのでやはり間違い。
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