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2003/08/19(火)
グングルグルルー
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http://www.google.com/search?num=50&hl=ja&inlang=ja&ie=Shift_JIS&q=LuNaYu&lr=lang_ja
グーグルでLuNaYuで検索するとトップに出てくるようになった。わーい。
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高校までは近似の動機として、「近似による議論で十分だから」よりも「近似しないと計算できないから」が圧倒的に大きかった。だから近似は必ず問題に指示があった。だけれど、当然前者のほうが本質的だ。
特に、今熱力学とか統計力学とかをやっているのだが、これらは現象の従う法則というよりは現象の観測の仕方と解析の仕方についての分野である。それで、近似が許される場面ではバンバン近似していく。
これが近似の感覚が全然身についていない自分には非常につらい。
酔歩問題に関する授業で
N歩歩いて原点からの符号付距離nの地点に到達する場合の数
W_N(n)=N!/((N+n)/2)!((N-n)/2)!
の計算で、まずスターリングのコーシキで
W_N(n)
ニアリーイコール(N^N)exp(-N)/(((N+n)/2)^((N+n)/2))exp(-(N+n)/2)(((N-n)/2)^((N-n)/2))exp(-(N-n)/2)
よって
log(W_N(n))=N log(N)-((N+n)/2)log((N+n)/2)-((N-n)/2)log((N-n)/2)
=-((N+n)/2)log(1+n/N)-((N-n)/2)log(1-n/N)+log(2^N)
ここで、一時近似log(1+x)ニアリーイコールxだから
ニアリーイコール-((N+n)/2)n/N-((N-n)/2)n/N+log(2^N)
=-n^2/2N+log(2^N)
という計算があった。これが結構悩む。とりあえずNはすごく大きいとしても、一つ目の近似は|n|が十分大きくないと適用できず二つ目の近似は|n|がNに比べて十分小さくないと適用できない。まあ、結果は合う様なのだが...
多分こういうことだろう。Nが一兆くらいあれば、n=百万くらいでもn/Nは十分小さい。そして、nを大きくしていくとその場合の数は急激に減少するであろうから、n/Nが十分小さくない領域の寄与は非常に小さい。つまり、前者の近似が適用できる条件は絶対的で後者の近似が適用できる条件は相対的であって、Nを十分大きく取れば、結果に寄与するnのほとんどnは十分大きく、しかしNに比べては十分小さい、とすることができる。
本当はこんなことで悩んでいてはいけないのだろうけれど...
手元にある演習書では二項係数の和が簡単になることを使って平均値とか揺らぎとかしか求めていないが、これで確かに、N歩歩いてnに至る確率を評価することができる。この先生は授業を作る上で妥協していないことは感じられるので、憎めない。だけど鬼は鬼だ。
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昨日のことだが、渋谷で、ビルの壁面の看板で二人の人間とサッカーボールがロープで吊り下げられ、空中サッカーをしていた。多くの人が頭上を見上げていた。おそらくその隙に何らかの犯罪を行うための陽動作戦だったのだろう。
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