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2003/12/26(金)
リョーシリキガクオボエガキ
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量子力学に対する感覚的なイメージが全くないため、パラメタの設定が非常に困る。それで、井戸ポテの場合について、各パラメタがどの部分に寄与するのか、一々確かめてみる。
大体扱うのは、クーロンポテにしろ調和振動子ポテにしろある領域に波動関数を局在化させるわけだから、定性的な評価はこれだけでもかなり助けになるはずだ。
#ただし、ポテンシャルが存在する時、どのような範囲に波動関数が局在化しているか、というのは、波動関数の初期値による。というかエネ期待値による。つまり、エネ期待値がポテエネと一致する辺りよりさらにかなり広めに見積もるのがとりあえず一番安全である。
というわけで超基本のおさらいをひたすら、、、
0=<x<=Lでポテエネ=0、他で+無限大として
n番目の固有状態は(規格化定数は省略)
φ_n=sin(n pi x/L)
E_n=(h^2/8mL^2)
時間発展演算子のこの固有関数に関しての成分は
exp(-iE_n/hbar t)=exp(-i2pi (h n^2/8mL^2)t)
周期T=hbar/E_n=(8mL^2/h) 1/n^2
すなわち、固有状態の形はhによらない(ポテエネが存在する時は一般には成り立たないだろうが認識しておいて損はなさそうな事実だ)。
そして、時間変化を見るのは8mL^2/hの数倍程度で十分のようだ。また、見つけたい固有関数の数をN個程度とすれば、(8mL^2/h)1/N^2より数段細かい刻み幅をとればいいことがわかる。
後は古典粒子との対応を見ておくつもり。そうするとポテエネの設定が楽になるだろう。
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なんかいきなり井戸型ポテンシャルに関しては完璧な結果が得られたのですが。すごいすごい
http://f18.aaacafe.ne.jp/~ruke/quantum.htm
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当たり前だ。時間方向にフーリエ変換する時の周期が固有状態の周期と完全に一致しているもん。これじゃ厳密解が完璧に出る。
案の定、調和振動子だとあまりうまくいかない。下から二つがそれっぽく見えなくもないという程度でぼやけてしまう。
初期状態が離散的だから、位置と波数(運動量)の変換はフーリエ級数で良いのだけれど、最後の時間方向のフーリエ変換は本当にフーリエ変換でなければならないようだ。つまり、積分が安定するまで積分をしなければならない。
しかし、少なくとも調和振動子に関しては解析解があるのだった。確か全ての固有状態に共通の周期も容易にもとめられたはず。かなり恣意的だが、少ない計算量で面白い結果が得られるかもしれない。明日試して見よう。
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